Что общего между листом бумаги, поверхностью стола, бубликом и кружкой? Конечно, можно, сидя за столом, съесть бублик, лежащий на бумажке, и запить молоком из кружки. Но между ними имеется и более тесная связь: с точки зрения геометрии их поверхности абсолютно одинаковы.
Двухмерные аналоги евклидовой, сферической и гиперболической геометрий. В плоском евклидовом пространстве параллельные прямые нигде не пересекаются, а сумма углов любого треугольника равна 180 градусам. На сферической поверхности часть параллельных прямых пересекается, подобно меридианам на земном глобусе, а сумма углов треугольников всегда больше 180 градусов (вплоть до 360). На поверхности гиперболоида углы треугольников составляют меньше 180 градусов, а параллельные прямые могут расходиться, нигде не пересекаясь.
Лист Мёбиуса с точкой a на его поверхности, нормалью к ней и маленькой окружностью с заданным направлением v. Полный обход вокруг листа изменяет направление окружности на противоположное. Это говорит о том, что поверхность листа Мёбиуса неориентируема.
Плоский лист бумаги можно склеить в цилиндр и, соединив его торцы, получить тор. При деформации поверхности тора получается "чашка с ручкой". Манипуляции осуществлялись без разрезов и складок, поэтому все эти тела имеют одинаковую топологию, они гомеоморфны. На их поверхности действуют законы евклидовой геометрии.
Тор с одной ручкой гомеоморфен сфере с двумя ручками - их топология одинакова.
Если вырезать эту фигуру и склеить из нее куб, станет понятно, как выглядит трехмерный тор, бесконечно повторяющий копии зеленого "червячка", сидящего в его центре.
Куб - фундаментальная область трехмерного тора - разрезан на тонкие вертикальные слои, которые при склеивании образуют кольцо, состоящее из двухмерных торов.
Трехмерный тор можно склеить из куба, подобно тому, как тор двухмерный - из квадрата. Разноцветные "червячки", путешествующие внутри его, наглядно демонстрируют, какие грани куба склеены вместе.
Если две грани исходного куба склеены с поворотом на 180 градусов, образуется 1/2 -повернутое кубическое пространство.
Поворот двух граней на 90 градусов дает 1/4- повернутое кубическое пространство. Попробуйте эти рисунки и аналогичные рисунки на стр. 88 как инверсные стереопары. "Червячки" на неповернутых гранях приобретут объем.
Если в качестве фундаментальной области взять шестигранную призму, склеить каждую ее грань с противоположной напрямую, а шестиугольные торцы с поворотом на 120 градусов, получится 1/3-повернутое шестиугольное призматическое пространство.
Поворот шестиугольной грани перед склейкой на 60 градусов дает 1/6-повернутое шестиугольное призматическое пространство.
Двойное кубическое пространство.
Пластинчатое пространство возникает, если склеить верхнюю и нижнюю стороны бесконечной пластины.
Трубчатые пространства - прямое (А) и повернутое (Б), в котором одна из поверхностей склеена с противоположной с поворотом на 180 градусов.
Карта распределения микроволнового реликтового излучения демонстрирует то распределение плотности материи, которое было 300 тысяч лет назад (показано цветом). Ее анализ позволит определить, какую топологию имеет Вселенная.
